北大数学家独作论文登上顶刊：袁新意统一算术与几何 Bogomolov 猜想

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四大顶刊之一的《数学年刊》，正式接收北大袁新意独作论文。在困扰数学界多年的 Uniform Bogomolov 猜想问题上取得重要进展。

值得一提的是，这篇论文还在预印版状态时就已获得一定引用，据称还在不同的学术会议中被讨论。

这一成果延续了袁新意在算术几何和丢番图几何领域的成果，其中“将 Uniform Bogomolov 问题转化为证明某个直线丛的算术大性”等创新方法，更是被评价为给相关领域的研究提供了全新的视角和工具。

统一算术与几何的 Bogomolov 猜想

这篇论文旨在证明 Uniform Bogomolov-type 定理，这是一个关于代数曲线上有理点分布的问题。

数学界对这个问题的研究还要追溯到 40 多年前。

著名的算术 Bogomolov 猜想由 Fedor Bogomolov 在 1980 年提出，由 Emmanuel Ullmo 和张寿武在 1998 年证明。

进入 21 世纪，通过数域和函数域之间的类比，Walter Gubler 和 Kazuhiko Yamaki（山木壱彦）提出了几何 Bogomolov 猜想。

直到 2021 年，袁新意和谢俊逸合作，终于完全证明了几何 Bogomolov 猜想的所有情形。当时也正是这篇论文，让低调回到北大的袁新意重回大众视野。

既然几何 Bogomolov 猜想已完全证明，那么现在这篇新论文又做出哪些突破呢？

将 21 年的结果推广到算术情形，在数域和函数域给出了统一的处理方法。

总的来看, 袁新意的这篇论文不仅解决了 Uniform Bogomolov 猜想这一重大问题，其中转化问题的新思路更是为相关领域的研究提供了全新的视角和工具。

将 Uniform Bogomolov 问题转化为证明某个直线丛的”算术大性”

通过阿贝尔-雅可比映射, 把曲线上高度分布问题转为 Jacobian 簇上的交点计数问题

这些方法借助了张寿武的“Admissible pairing”理论，作为张寿武的学生，袁新意与他在 Adelic 直线丛理论方面有深入合作。

2020 年回北大任教至今

袁新意，祖籍湖北麻城，2000 年参加国际数学奥林匹克竞赛获得金牌，之后进入北大数学系。

想必不少人对这个名字并不陌生，袁新意同刘若川、恽之玮、宋诗畅、肖梁和许晨阳等人，正是大名鼎鼎的北大数学“黄金一代”。

2004 年，这群要奔向世界各地探索数学进阶之路的年轻人，在燕园留下了这样一张意气风发的合影。

彼时，袁新意已在哥伦比亚大学留学一年。袁新意刚好回来团聚，大家相约用一场长跑作为纪念，照片就拍摄在出发前。

他们从北大出发一路向南，跑过长安街，跑过天安门 —— 而他们不同的数学攀高轨迹，也在这种别离纪念中，朝向大洋彼岸拉开序幕……

毕业后，袁新意前往哥伦比亚大学，师从华人数学家张寿武。

2008 年在华人数学家张寿武的指导下拿到哥伦比亚大学博士学位。同年，袁新意成为第一个获得美国克雷研究所研究奖的华人。

之后，袁新意曾在克雷数学研究所做博士后，担任哥伦比亚大学数学系 Ritt 助理教授、普林斯顿大学数学系助理教授、加利福尼亚大学伯克利分校数学系助理教授。

而在 2020 年，袁新意决意回归故土，加入母校北大，任北京国际数学研究中心教授至今。

袁新意的研究主要集中在 Arakelov 几何、代数动力学、丢番图几何、Shimura 簇以及 L 函数的特殊值等领域，并在这些领域获得了瞩目的成就。

例如，他在哥伦比亚大学读博期间，就与同为北大数院 2000 级的张伟展开了一系列研究。

袁新意、张伟，再加上恽之玮、朱歆文，四人在圈内被并称为“数学界四小天鹅”。张伟在 2004 年赴哥伦比亚大学，和袁新意一样拜入张寿武门下。

张寿武曾对两人说：“做完博士论文，我与你们的师生关系就结束了，你们不走，咱们就做个朋友，一起做做学问。”

两人欣然应允，于是三位顶级数学家先是拿下了第一个合作成果：

与库达拉猜想（Kudla Conjecture）中的模性（Modularity）问题有关，这是张伟博士论文的内容，三人一起深入挖掘了公式，将其推广到了全实域。

又紧接着又是志村簇（Shimura varieties）上复乘点的高度，他们建立了 Waldspurger 公式在算术代数几何下的一个模拟，远远走出了现有的 Gross-Zagier 公式。

最后的成果甚至从论文变成了一本书，以书的形式出版在《普林斯顿数学研究年刊》上。

在合作结束后的多年，张寿武还对这段经历念念不忘：

袁新意是奥数冠**成员，他的基本功没人可比，如果他说一个结论是对的，就肯定是对的；张伟思想太活跃，有很多想法。有些是对的，有些不完全对，但很有发展的价值。

他们的性格完全不一样，但在一起合作非常愉快，对我来说是千载难逢的机会：哪有这么好的年轻的学生做好论文后还不想走，在这里待下来？！”

除此之外，2021 年袁新意还在曲线模空间上构建了算术典范线丛，并验证了其正性，从而提供了一致莫德尔猜想的新的几何化证明。

在对 Bogomolov 猜想的研究告一段落之后，算术几何领域仍有诸多亟待攻克的难题，如 ABC 猜想、BSD 猜想等。张寿武就曾透露，自己曾经最想解决的是 ABC 猜想。

期待数学家们能够继续合作，破解更多难题。

参考资料：

• [1]http://english.math.pku.edu.cn/Research2/9271f6daf5984ce6aed9ffaced13d3ef.htm

• [2]https://www.math.pku.edu.cn//jgzj/gkxw/128700.htm

• 论文链接：https://arxiv.org/ pdf/2108.05625